25 заданий по теории вероятности

1. 1.       Среди 25 студентов, из которых 15 девушек, разыгрываются 3 билета, причем каждый может выиграть не более одного билета. Какова вероятность, что все билеты выиграют юноши?

1. 2.      Из колоды 36 карт вынимается карта, записывается, а затем возвращается в колоду и колода перемешивается. Найти вероятность, что из 7 вынутых таким образом карт будет ровно 3 туза.

1. 3.       В первом ящике находится 40 годных деталей и 10 бракованных, а во втором – 30 годных и 20 бракованных. Из каждого ящика наугад достают по одной детали. Найти вероятность того, что хоть одна из них бракованная.

1. 4.      Завод отправил в торговую сеть 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. Найти вероятность того, что при транспортировке будет повреждено не более 2 изделий.

1. 5.       На сельскохозяйственном предприятии имеется 3 молочных фермы, на которых соответственно 40, 35 и 25 коров. Вероятность, что годовой удой коровы превысит 3000 л для 1-ой фермы равна 0,4, для 2-ой 0,5 и для 3-ей 0,7.

а) Найти вероятность, что годовой удой наугад выбранной коровы превысит 3000 л.

б) Годовой удой наугад выбранной коровы превышает 3000 л. Найти вероятность, что эта корова с 3-ей фермы.

1. 6.       30 % изделий данного предприятия – это продукция высшего сорта. Некто приобрел 6 изделий, изготовленных на этом предприятии. Найти вероятность, что ровно 3 из них высшего сорта.

1. 7.      Произведено 3 выстрела по цели из орудия. Вероятность попадания в цель при первом выстреле равна 0,5, при втором 0,6, а при третьем 0,75. Найти вероятность того, что хотя бы один выстрел попадет в цель.

1. 8.      Вероятность того, что случайно выбранный летний день окажется дождливым в данной местности, равна 0,3. Найти вероятность, что в течение лета (с 1 июня по 31 августа включительно) будет ровно 30 дождливых дней.

1. 9.      Контролер ОТК, проверив качество сшитых 20 пальто, установил, что среди них 12 первого сорта, а остальные – второго. Найти вероятность, что из взятых наугад трех пальто не будет ни одного второсортного.

1. 10.  В новом микрорайоне поставлено 1000 кодовых замков на входных дверях домов. Вероятность выхода из строя одного замка в течение месяца равна 0,003. Найти вероятность, что за месяц выйдут из строя не более трех замков.

1. 11.   Дан ряд распределения случайной величины Х.

Построить функцию распределения F(Х) и ее график. Найти М(Х), D(X), s_Х.

1. 12.  Проведено взвешивание случайно выбранных 100 коров с ферм N-ской области.

С доверительной вероятностью 0,95 найти доверительный интервал среднего веса коров N-ской области в предположении, что вес коров распределен нормально.

1. 13.  В условии задачи 8 проверить гипотезу о нормальном распределении веса коров N-ской области при уровне значимости 0,05.

1. 14.  В большой партии изделий вероятность брака равна р. Контроль качества проводится до первого появления бракованного изделия. В результате серии проверок обнаружилось, что бракованное изделие впервые появлялось в среднем при десятом испытании. Оценить вероятность появления брака р.

1. 15.  Интервал движения автобуса равен 15 минутам. Какова вероятность того, что пассажир на остановке будет ждать автобус не более 5 минут?

1. 16.   Случайная величина X распределена по равномерному закону на отрезке [-1; 3]. Записать выражения для p(x) и F(x). Найти MX, DX, s_X.

1. 17.  Установлено, что время Т горения электрической лампочки является случайной величиной, распределенной по показательному закону. Считая, что среднее значение этой величины равно 6 месяцам, найти вероятность того, что лампочка будет гореть в течение года.

1. 18.  Среднее время простоя в очереди в магазине составляет 20 мин. Чему равна вероятность того, что случайно взятый покупатель будет стоять там сегодня от 20 до 40 мин.?

1. 19.  Выборка из большой партии электроламп включает 100 ламп. Средняя продолжительность горения лампы выборки оказалась равной 1000 ч. Найти с доверительной вероятностью g = 0,95 доверительный интервал для средней продолжительности горения лампы применительно ко всей партии, если известно, что случайная величина, равная продолжительности горения лампы, распределена нормально, а дисперсия этой случайной величины равна 1600 ч².

1. 20.   В таблице приведены результаты измерения роста в см у 100 случайно отобранных студенток из различных вузов Москвы.

Найти несмещенные точечные оценки генеральной средней и генеральной дисперсии признака Х –роста студенток в генеральной совокупности (объединяющей всех студенток Москвы).

1. 21.  При уровне значимости a = 0,05 проверить гипотезу о нормальном распределении роста студенток Москвы по материалам предыдущих примеров.

Исходный интервальный ряд имеет следующий вид:

Найти с доверительной вероятностью g = 0,99 доверительный интервал среднего роста студенток Москвы по данным более раннего примера в предположении, что эта СВ распределена нормально.

1. 22.  На опытном производстве выпущено 5 партий одинаковых приборов с использованием серебра. Объемы партий составили 10; 15; 30; 40 и 60 приборов. Расход серебра для изготовления этих партий приборов был равен соответственно: 305 г; 442 г; 877 г; 1151 г; 1722 г. Найти по методу наименьших квадратов эмпирическую формулу зависимости расхода серебра от числа изделий в партии.

1. 23.  Двумерная случайная величина (X, Y) распределена по следующему закону:

Найти корреляционный момент K_XY и коэффициент корреляции r_XY.

1. 24.   В магазине постельных принадлежностей в течение пяти дней были проведены подсчеты числа купленных подушек и одеял. Оценить коэффициент корреляции между спросом на подушки (признак X) и спросом на одеяла (признак Y) в этом магазине и составить уравнение регрессии Y на X, если подсчет дал следующие результаты:

1. 25.  По данным задачи 24 найти интервальную оценку коэффициентов уравнения регрессии с доверительной вероятностью g = 0,95 и проверить значимость уравнения регрессии при уровне значимости a = 0,05.