Контрольная по дискретной математике, вариант 5

Часть 1. 

1. Задать различными способами множество всех чисел, отличающихся друг от друга на два.
2. Задано множество М={0, (1, 2), 3, 4, (5, 6)}. Перечислите списком все подмножества множества М. Укажите мощность полученного множества подмножеств.
3. Заданы множества А={1, 5, 8, 4, 3},  В={1, 3, 5}, С={1, 5, 8, 4, 6}, D={4, 8, 6, 3, 2}. Осуществить операции над множествами: объединение, пересечение и разность. Построить диаграммы Венна (попарно и над всеми множествами сразу).
4. Задано универсальное множество U={c, d, e, f, g, h, j, к, l} и множество А={l, к, с, f}. Определить дополнение множества А.
5. Задано множество векторов V={(c, с), ( b, b), (a, d), (а, с)}. Определить, чему равны проекции множества векторов на первую, вторую, третью, а также первую и третью оси.
6. Задано множество М={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Задать списком и матрицей отношение R MxM, если R означает иметь один и тот же остаток от деления на один.
7. Каковы свойства отношений, заданных на множестве натуральных чисел N, если R – быть вполовину меньше.
8. Задано множество М={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Заданы отношения R₁ – быть на один меньше, R₂ – быть на два больше. Произвести объединение отношений R₁  R₂. Определить составное отношение    R₁ ⁽²⁾  R₂.
9. Задано схематическое расположение офисов в здании (вид сбоку):

 Определить R – иметь общую стенку (работать в соседнем офисе).

 Определить списком и матрицей транзитивное замыкание  и рефлексивное замыкание .

1. Задано уравнение на плоскости y= . Чему равен образ числа 1? Чему равен прообраз числа 0?  Почему?
2.  Задана функция f(x₁, x₂, x₃, х₄)=2x₁-7x₂-2x₃+3х₄.  Определить функции, заданные переименованием х₁ в х₄ и х₂ в х₄.
3.  Изобразить граф, заданный следующим образом:

Определить степени вершин графа.

1. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из трех цифр 1, 2, 1? Применить формулы комбинаторики.
2.  Записать логической формулой следующую фразу: Множества А и В равны, если их элементы совпадают.
3.  Упростить булевы формулы: .

 Часть 2. 

1. Доказать или опровергнуть эквивалентность (равносильность) формул:

2. Доказать или опровергнуть функциональную полноту набора операций { ,┐} через функционально полный набор булевого базиса, проверив соотношение на эквивалентность .

3. Получить совершенную дизъюнктивную нормальную форму (СДНФ), дизъюнктивную нормальную форму (ДНФ) и совершенную конъюнктивную нормальную форму (КНФ) функции, заданной в префиксной форме:

, если  - бинарные операции,  - штрих Шеффера,  - дизъюнкция,  - импликация.

4. Даны 2 подстановки и .

а) Привести подстановки к каноническому виду;

б) Найти произведение подстановок  ;

в) Найти произведение подстановок  ;

г) Определить степени подстановок;

д) Получить обратные подстановки и привести их к каноническому виду;

е) Определить ;

ж) Найти число инверсий и четность подстановок.

з) Привести подстановку  к единичной с помощью транспозиций.

5. Рассмотреть варианты навешивания кванторов на предикат Р(х), определенный на множестве натуральных чисел с нулем N₀. Дать словесную формулировку полученных высказываний и определить истинность или ложность получаемых выражений, если...