Контрольная по дискретной математике, вариант 7

Часть 1. ВАРИАНТ 7

1. Задать различными способами множество всех чисел, являющихся степенями четверки.
2. Задано множество М={(0, 1, 2), 3, 4, (5, 6), 7}. Перечислите списком все подмножества множества М. Укажите мощность полученного множества подмножеств.
3. Заданы множества А={1, 4, 3, 7, 10, 11},  В={10,  5, 7}, С={1, 4, 6, 11}, D={4, 10, 2, 22}. Осуществить операции над множествами: объединение, пересечение и разность. Построить диаграммы Венна (попарно и над всеми множествами сразу).
4. Задано универсальное множество U={c, f, g, h, j, к, l, m, n} и множество А={l, к, с, f, m, n}. Определить дополнение множества А.
5. Задано множество векторов V={(a, с), (c, b), (d, а), (b,b)}. Определить, чему равны проекции множества векторов на первую, вторую, третью, а также первую и вторую оси.
6. Задано множество М={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10}. Задать списком и матрицей отношение RMxM, если R означает иметь общий делитель.
7. Каковы свойства отношений, заданных на множестве натуральных чисел N, если R – быть на семь меньше.
8. Задано множество М={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Заданы отношения R₁ – быть на два меньше, R₂ – быть делителем. Произвести объединение отношений R₁  R₂. Определить составное отношение    R₁ ⁽³⁾ R₂⁽²⁾.
9. Задано схематическое расположение офисов в здании (вид сбоку):

 Определить R – иметь общую стенку (работать в соседнем офисе).

 Определить списком и матрицей транзитивное замыкание  и рефлексивное замыкание .

1. Задано уравнение на плоскости y=. Чему равны образы чисел 2, 3 и отрезка (2,3)? Чему равны прообразы отрезка (1,3) и числа 0?  Почему?
2.  Задана функция f(x₁, x₂, x₃, х₄)=6x₁-5x₂-2x₃+8х₄.  Определить функции, заданные переименованием х₁ в х₄ х₂ в х₃.
3.  Изобразить граф, заданный следующим образом:

Определить степени вершин графа.

1. Сколько можно составить сигналов из флажков трех типов, взятых по два? Повторения возможны. Применить формулы комбинаторики.
2.  Записать логической формулой следующую фразу: Вектор – это упорядоченный набор элементов, а число компонент вектора называется его длинной или размерностью.

 Упростить булевы формулы: 

Часть 2 .  ВАРИАНТ 7

1. Доказать или опровергнуть эквивалентность (равносильность) формул:

2. Доказать или опровергнуть функциональную полноту набора операций {,┐} через функционально полный набор булевого базиса, проверив соотношение на эквивалентность .

3. Получить совершенную дизъюнктивную нормальную форму (СДНФ), дизъюнктивную нормальную форму (ДНФ) и совершенную конъюнктивную нормальную форму (КНФ) функции, заданной в префиксной форме:

, если  - бинарные операции,  - стрелка Пирса,  - сложение по модулю 2,  - импликация.

4. Даны 2 подстановки и .

а) Привести подстановки к каноническому виду;

б) Найти произведение подстановок  ;

в) Найти произведение подстановок  ;

г) Определить степени подстановок;

д) Получить обратные подстановки и привести их к каноническому виду;

е) Определить ;

ж) Найти число инверсий и четность подстановок.

з) Привести подстановку  к единичной с помощью транспозиций.

5. Рассмотреть варианты навешивания кванторов на предикат Р(х), определенный на множестве натуральных чисел с нулем N₀. Дать словесную формулировку полученных высказываний и определить истинность или ложность получаемых выражений, если